Conceptual Mathematics, Session29, Exercise1

対角線定理(Diagonal Theorem)

積を持つ圏で考える。

対象 Yが以下の命題1を満たすならば、任意のendomap  \alpha: Y \to Yは少なくとも1つの不動点を持つ。 すなわち、 \alpha \circ y0 = y0を満たす点 y0: 1 \to Yが存在する。

命題1

 f: T \times T \to Yが任意の射 g: T \to Yをパラメタライズできるような対象 Tを持つ。 すなわち、 g(t) = f(t, t0)と表せるような点 t0: 1 \to Tが存在する。

対角線定理の証明

 Y, T, f, \alphaが与えられており、以下の図式が可換であると仮定する。 このとき、 \alpha: Y \to Y不動点を持つことを示す。


\require{AMScd}
\begin{CD}
T \times T @>{f}>> Y\\
@A{\delta}AA @VV{\alpha}V\\
T @>>{g}> Y
\end{CD}

ここで \deltaは対角写像 \delta: t \mapsto (t, t)である。

図式が可換であることから、任意の点 t: 1 \to Tに対して


g(t) =\alpha(f(t, t))

が成り立つ。

また、 f gをパラメタライズできるので、


g(t) = f(t, t0)

を満たす点 t0: 1 \to Tが存在する。

 t t0を代入すると


g(t0) = f(t0, t0) = \alpha(f(t0, t0))

となり、 \alpha: Y \to Y不動点 f(t0, t0)を持つことが示せた。

対角線定理拡張版

Session29, Exercise1 (p.306)は、対角線定理を少し拡張した以下の定理を示すという問題である。

 f: T \times T \to Yが任意の射 T \to Yを"弱く"パラメタライズできる(weakly parameterize)ならば、 任意のendomap  \alpha: Y \to Y不動点を持つ。

"弱くパラメタライズする"の意味

 f: T \times T \to Yが任意の射 g: T \to Yを弱くパラメタライズするとは、任意の射 gに対して 点 t0: 1 \to Tが存在し、可換図式1の \xiが可換図式2を満たすことである。

可換図式1


\require{AMScd}
\begin{CD}
T @= T\\
@V{\xi}VV @VV{1_T}V\\
T \times T @>{p_1}>> T
\end{CD}


\require{AMScd}
\begin{CD}
T @= T\\
@V{\xi}VV @VV{c}V\\
T \times T @>{p_2}>> T
\end{CD}

 cは定値写像であり、任意の tに対して c(t) = t0

可換図式2


\require{AMScd}
\begin{CD}
1 @>{t}>> T @>{f \circ \xi}>> Y\\
@| @| @|\\
1 @>{t}>> T @>{g}>> Y
\end{CD}

 tは任意の点。

対角線定理拡張版の証明

可換図式2の gとして対角写像 \delta fとendomap  \alphaの合成 \alpha  \circ f \circ \deltaを選ぶ。 以下の図式において、 \alpha \circ f \circ \delta \circ t = f \circ \xi \circ tが成り立つ。


\require{AMScd}
\begin{CD}
1 @>{t}>> T @>{\delta}>> T \times T @>{f}>> Y @>{\alpha}>> Y
\end{CD}

 tは任意の点。

 f \circ \xi \circ t f(t, t\xi)と書くと、


\alpha(f(t, t)) = f(t, t\xi)

が成り立ち、 t t\xiを代入すると


\alpha(f(t\xi, t\xi)) = f(t\xi, t\xi)

となるので、 f(t\xi, t\xi) \alpha: Y \to Y不動点となることが示せた。

メモ

  • amscdだと、斜めの矢印、左矢印、破線矢印が書けなかった
  • XyJax を使おうとしたけど、はてなブログでの使い方がわからなかった https://github.com/sonoisa/XyJax
  • [tex: f(t_{\xi}, t_{\xi})]が表示されなくて困った。t\xit_{\xi}の代わりに使った。tex苦手なので間違っているかも。