量子コンピューティング向け言語Q#の問題集 QuantumKatas Teleportation Task 4.1〜4.2 Alice, Bob, Charlie
Task 4.1〜4.2はAlice, Bob, Charlieが登場する量子テレポーテーションの問題です。
Task 4.1は、Alice, Bob, Charlieの状態を|Ψ³⟩ = (|000⟩ + |011⟩ + |101⟩ + |110⟩) / 2 にするという問題です。
Task 4.2は、以下の設定です。
- Aliceがメッセージの量子ビットを持っている
- AliceがAlice自身の量子ビットとメッセージの量子ビットをエンタングルさせる
- AliceがAliceの量子ビットとメッセージの量子ビットを測定し、測定結果を2bitの古典ビットとしてCharlieに送信する
- BobもBob自身の量子ビットを測定し、測定結果を1bitの古典ビットとしてCharlieに送信する
- Charlieは、受信した3bitを利用して、自身の状態をメッセージの状態にする
Task 4.2は上記1〜4は既に完了しているとして、5を行うという問題です。
この記事ではTask 4.2を説明します。
メッセージの量子ビットの状態を|m⟩ = a|0⟩ + b|1⟩ とすると、メッセージ, Alice, Bob, Charlieの状態は、 |m⟩|Ψ³⟩ = (a|0000⟩ + a|0011⟩ + a|0101⟩ + a|0110⟩ + b|1000⟩ + b|1011⟩ + b|1101⟩ + b|1110⟩) / 2 になります。
Aliceとメッセージをエンタングルさせる、すなわち、CNOT(メッセージ, Alice)を行った後、H(メッセージ)を行うと メッセージ, Alice, Bob, Charlieの状態は、 |m⟩|Ψ³⟩ = (a|0000⟩ + a|1000⟩ + a|0011⟩ + a|1011⟩ + a|0101⟩ + a|1101⟩ + a|0110⟩ + a|1110⟩ + b|0100⟩ - b|1100⟩ + b|0111⟩ - b|1111⟩ + b|0001⟩ - b|1001⟩ + b|0010⟩ - b|1010⟩) / (2*sqrt(2)) になります。ふぅ。
次にこの状態に対してメッセージとAliceの測定を行います。 測定結果と測定後の状態は次のようになります。
| メッセージ量子ビットの測定結果 | Alice量子ビットの測定結果 | 測定後の状態 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | (a|0000⟩ + a|0011⟩ + b|0001⟩ + b|0010⟩) / sqrt(2) |
| 0 | 1 | (a|0101⟩ + a|0110⟩ + b|0100⟩ + b|0111⟩) / sqrt(2) |
| 1 | 0 | (a|1000⟩ + a|1011⟩ - b|1001⟩ - b|1010⟩) / sqrt(2) |
| 1 | 1 | (a|1101⟩ + a|1110⟩ - b|1100⟩ - b|1111⟩) / sqrt(2) |
この状態に対してBobの測定を行います。 ここで疑問があります。 問題文には以下のように書いてあります。
Bob has also measured his own qubit from |Ψ³⟩
これは不可能ではないでしょうか? なぜかというと、メッセージとAliceの測定を行った後にBobの測定を行うので、Aliceの状態が確定しているからです。
間違っていたらすみません。コメントで指摘してください。
測定結果の3bitと測定後状態は以下の表のようになります。
| メッセージ量子ビットの測定結果 | Alice量子ビットの測定結果 | Bob量子ビットの測定結果 | 測定後の状態 | Charlie量子ビットに行う操作 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | a|0000⟩ + b|0001⟩ | なし |
| 0 | 0 | 1 | a|0011⟩ + b|0010⟩ | X |
| 0 | 1 | 0 | a|0101⟩ + b|0100⟩ | X |
| 0 | 1 | 1 | a|0110⟩ + b|0111⟩ | なし |
| 1 | 0 | 0 | a|1000⟩ - b|1001⟩ | Z |
| 1 | 0 | 1 | a|1011⟩ - b|1010⟩ | X → Z |
| 1 | 1 | 0 | a|1101⟩ - b|1100⟩ | X → Z |
| 1 | 1 | 1 | a|1110⟩ - b|1111⟩ | Z |
これをコードにするとTask 4.1を含めて次のようになります。
// Quantum teleportation using entangled states other than Bell pairs is also feasible. // Here we look at just one of many possible schemes - in it a state is transferred from // Alice to a third participant Charlie, but this may only be accomplished if Charlie // has the trust of the second participant Bob. // Task 4.1*. Entangled trio // Input: three qubits qAlice, qBob, and qCharlie, each in |0⟩ state. // Goal: create an entangled state |Ψ³⟩ = (|000⟩ + |011⟩ + |101⟩ + |110⟩) / 2 on these qubits. // // In the context of the quantum teleportation protocol, this is the preparation step: // qubits qAlice, qBob, and qCharlie will be sent to Alice, Bob, and Charlie respectively. operation EntangleThreeQubits (qAlice : Qubit, qBob : Qubit, qCharlie : Qubit) : Unit { H(qAlice); H(qBob); (ControlledOnInt(1, X))([qAlice, qBob], qCharlie); (ControlledOnInt(2, X))([qAlice, qBob], qCharlie); } // Task 4.2*. Reconstruct the message (Charlie's task) // Alice has a message qubit in the state |ψ⟩ to be teleported, she has entangled it with // her own qubit from |Ψ³⟩ in the same manner as task 1.2 and extracted two classical bits // in order to send them to Charlie. Bob has also measured his own qubit from |Ψ³⟩ and sent // Charlie the result. // // Transform Charlie's qubit into the required state using the two classical bits // received from Alice, and the one classical bit received from Bob. // Inputs: // 1) Charlie's part of the entangled trio of qubits qCharlie. // 2) The tuple of classical bits received from Alice, // in the format used in task 1.2. // 3) A classical bit resulting from the measurement of Bob's qubit. // Goal: transform Charlie's qubit qCharlie into the state in which the message qubit had been originally. operation ReconstructMessageWhenThreeEntangledQubits (qCharlie : Qubit, (b1 : Bool, b2 : Bool), b3 : Bool) : Unit { if ((not b2 && b3) || (b2 && not b3)) { X(qCharlie); } if (b1) { Z(qCharlie); } }
