ハイティング代数の勉強
J. ヨスト著, 清水勇二訳 現代数学の基本概念 上 を読んでいて、p.35 の練習問題が難しかったので、この問題について書いておく。
p.35の練習問題とは、ハイティング代数において以下を示すことだ。
ハイティング代数は0と1を持つ束で冪対象を持つ。
冪対象の記法で書くと示したいことは以下になる。
を任意の元として、次の①と②, ②と③は一対一に対応する。ここではを表す。
①
②
③
また、を任意の元として、次の④と⑤は一対一対応する。
④
⑤
もし①でをとした射があるならば、③のにを代入して、射
が存在する。すなわち以下が成り立つ。
一方、もし④でをとした射があるならば、⑤のにを代入して、射
が存在する。すなわち以下が成り立つ。
したがって、, , 反対称律より
となる。
あとは、とを示せばよい。
まず、は、から成り立つことがわかる。
次に、は、次のように示す。