Conceptual Mathematics, Session29, Exercise1

対角線定理(Diagonal Theorem)

積を持つ圏で考える。

対象 $Y$ が以下の命題1を満たすならば、任意のendomap $\alpha: Y \to Y$ は少なくとも１つの不動点を持つ。すなわち、 $\alpha \circ y0 = y0$ を満たす点 $y0: 1 \to Y$ が存在する。

命題1

射 $f: T \times T \to Y$ が任意の射 $g: T \to Y$ をパラメタライズできるような対象 $T$ を持つ。すなわち、 $g(t) = f(t, t0)$ と表せるような点 $t0: 1 \to T$ が存在する。

対角線定理の証明

$Y, T, f, \alpha$ が与えられており、以下の図式が可換であると仮定する。このとき、 $\alpha: Y \to Y$ が不動点を持つことを示す。

$\require{AMScd} \begin{CD} T \times T @>{f}>> Y\\ @A{\delta}AA @VV{\alpha}V\\ T @>>{g}> Y \end{CD}$

ここで $\delta$ は対角写像 $\delta: t \mapsto (t, t)$ である。

図式が可換であることから、任意の点 $t: 1 \to T$ に対して

$g(t) =\alpha(f(t, t))$

が成り立つ。

また、 $f$ は $g$ をパラメタライズできるので、

$g(t) = f(t, t0)$

を満たす点 $t0: 1 \to T$ が存在する。

$t$ に $t0$ を代入すると

$g(t0) = f(t0, t0) = \alpha(f(t0, t0))$

となり、 $\alpha: Y \to Y$ が不動点 $f(t0, t0)$ を持つことが示せた。

対角線定理拡張版

Session29, Exercise1 (p.306)は、対角線定理を少し拡張した以下の定理を示すという問題である。

射 $f: T \times T \to Y$ が任意の射 $T \to Y$ を"弱く"パラメタライズできる(weakly parameterize)ならば、任意のendomap $\alpha: Y \to Y$ は不動点を持つ。

"弱くパラメタライズする"の意味

射 $f: T \times T \to Y$ が任意の射 $g: T \to Y$ を弱くパラメタライズするとは、任意の射 $g$ に対して点 $t0: 1 \to T$ が存在し、可換図式1の $\xi$ が可換図式2を満たすことである。

可換図式1

$\require{AMScd} \begin{CD} T @= T\\ @V{\xi}VV @VV{1_T}V\\ T \times T @>{p_1}>> T \end{CD}$

$\require{AMScd} \begin{CD} T @= T\\ @V{\xi}VV @VV{c}V\\ T \times T @>{p_2}>> T \end{CD}$

$c$ は定値写像であり、任意の $t$ に対して $c(t) = t0$ 。

可換図式2

$\require{AMScd} \begin{CD} 1 @>{t}>> T @>{f \circ \xi}>> Y\\ @| @| @|\\ 1 @>{t}>> T @>{g}>> Y \end{CD}$

$t$ は任意の点。

対角線定理拡張版の証明

可換図式2の $g$ として対角写像 $\delta$ と $f$ とendomap $\alpha$ の合成 $\alpha \circ f \circ \delta$ を選ぶ。以下の図式において、 $\alpha \circ f \circ \delta \circ t = f \circ \xi \circ t$ が成り立つ。

$\require{AMScd} \begin{CD} 1 @>{t}>> T @>{\delta}>> T \times T @>{f}>> Y @>{\alpha}>> Y \end{CD}$

$t$ は任意の点。

$f \circ \xi \circ t$ を $f(t, t\xi)$ と書くと、

$\alpha(f(t, t)) = f(t, t\xi)$

が成り立ち、 $t$ に $t\xi$ を代入すると

$\alpha(f(t\xi, t\xi)) = f(t\xi, t\xi)$

となるので、 $f(t\xi, t\xi)$ が $\alpha: Y \to Y$ の不動点となることが示せた。

メモ

amscdだと、斜めの矢印、左矢印、破線矢印が書けなかった
XyJax を使おうとしたけど、はてなブログでの使い方がわからなかった https://github.com/sonoisa/XyJax
[tex: f(t_{\xi}, t_{\xi})]が表示されなくて困った。t\xiをt_{\xi}の代わりに使った。tex苦手なので間違っているかも。