ラプラス・ベルトラミ作用素を使った3次元極座標のラプラシアンの導出

前回の記事では曲がった空間のラプラシアンであるラプラス・ベルトラミ作用素を求めた。

nyonyo.hatenablog.com

今回は以下のラプラス・ベルトラミ作用素を使って3次元極座標ラプラシアンを導出してみる。

これを3次元極座標で計算するには3次元極座標の計量を求めなければならない。 以下のように線素を使って求めることができる。

この計量をラプラス・ベルトラミ作用素に代入して計算すれば、以下のように3次元極座標ラプラシアンが導出できる。