曲がった空間のラプラシアンであるラプラス・ベルトラミ作用素を求める。
これを使うと3次元極座標でのラプラシアンが簡単に計算できる。
ラプラス・ベルトラミ作用素は以下。
ポイントはラプラシアンに含まれる微分を以下の共変微分で置き換えること。
置き換えて、以下のようになる。
(5)→(6)の式変形について説明する。
まず、共変微分に含まれるクリストッフェル記号は次のように計量を使って書ける。
ラプラシアンでは上付き添字と下付き添字が同じである(10)〜(13)を使う。
(12)→(13)のように式変形できる理由を以下に示す。
次回はこのラプラス・ベルトラミ作用素を使って実際に3次元極座標でのラプラシアンの表示を導きたい。
